Наука и педагогика 12.08.2020

Как стать математиком: эффективные методы обучения, необходимые навыки и умения

18 мин.

Краткая история и предмет математики

Исторически составные части математики – арифметика и геометрия – выросли, как известно, из нужд практики, из необходимости индуктивного решения различных практических задач земледелия, мореплавания, астрономии, сбора налогов, возврата долгов, наблюдения за небом, распределения урожая и т.п. При создании теоретических основ математики, основ математики как научного языка, формального языка наук, различных теоретических построений стали важными элементами различные обобщения и абстракции, исходящие из этих практических задач, и их инструментарий.

Истоки математики как науки и языка знаний восходят к Древнему Египту и Древнему Вавилону. Существует и другая версия историков науки, относящих появление математики (как теоретической дисциплины) к более позднему, греческому периоду ее развития – периоду начала использования доказательств геометрических теорем.

Математика в Греции развивалась достаточно быстро, логически, структурно и оформилась как особая наука с особым методом дедуктивного (от общего к частному) доказательства. Появление математики как систематической науки оказало, в свою очередь, громадное развивающее влияние на другие области знания.

Математика стала не просто лишь полезным практическим аппаратом, но и основным инструментом выявления внутренней сущности явлений и процессов, построения различных теоретических выводов, формальных оснований наук.

Это не могло не привести в древности к мистификации математики, что нашло отражение в философском учении знаменитого Пифагора и школы его последователей. Основной тезис пифагореизма – “все есть число”, то есть всюду есть и могут быть обнаружены количественные связи, а всякая закономерность может быть выражена и объяснима математическими соотношениями.

Наряду с пифагорейской философией, существовала и атомистическая философия (философская школа Демокрита). В атомистическом подходе математические закономерности выступают уже как вторичные по отношению к атому – первооснове. Физическое начало логически предшествует математическому и определяет свойства последнего. Математическое, в свою очередь, развивает физическое, естественнонаучное, позволяет открывать и исследовать новые связи и отношения в окружающем мире.

В эпоху Средневековья математика развивалась, в основном, в русле пифагореизма. Несмотря на многие заблуждения и неточности, эта эпоха дала миру многих замечательных математиков и ряд важных теорем и положений математики, заложила элементарные теоретические основы всего естествознания.

В XIV-XV вв. в Европе начался творческий процесс развития математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии, длившийся около двух столетий. Математика стала рассматриваться не как абсолютное, первичное знание, а как знание эмпирическое, вторичное, зависящее от внешних реалий. В это время развивались основные идеи дифференциального и интегрального исчисления, сформировались основные понятия высшей математики – бесконечно малое приращение, последовательность, предел, производная, дифференциал и др. (Заметим, что мы нигде далее не будем употреблять словосочетание “высшая математика”, считая математику единой для тех, кто ее изучает, различая лишь этапы изучения математики – школьный или вузовский).

Необходимость вычисления площадей сложных фигур, ограниченных произвольными кривыми, развивала методы дифференциального и интегрального исчисления, расширяла перечень решаемых задач и повышала сложность решаемых задач, сформировала логически стройную и достаточно полную систему математических понятий.

В XVI-XVII вв. появились новые математические теории, такие, как, например, теория вероятностей, комбинаторика, которые затем в XVIII веке стали эффективно использоваться в различных областях науки и практики. В математике с XVII в. широко начинает применяться метод доказательства общих положений и выводов на основе частных положений и выводов, называемый методом математической индукции. Некоторые историки математики считают правильным отсчитывать историю математики именно с этого периода.

Развивалась и геометрия, которая выходила в своих исследованиях за узкие пределы практических нужд (измерения длины, площади, объема и т.д.).

Неевклидова геометрия Н.И.Лобачевского (опираясь, в основном, на логическое мышление, на логические системы и логические выводы из них) показала, что расширение предмета математики важно не только для внутреннего развития самой математики и пересмотра устойчивых математических представлений, но и для выяснения роли математики как языка знаний. Неевклидовы геометрии продемонстрировали, что геометрия Евклида – не единственный способ восприятия чувственных образов в мире. Истинность геометрии Лобачевского находит косвенные подтверждения в астрономии, физике. Известный геометр Ф.Клейн доказал, что геометрия Лобачевского непротиворечива, если непротиворечива геометрия Евклида.

Основой развития математики в XX веке стал сформировавшийся формальный язык цифр, символов, операций, геометрических образов, структур, соотношений для формально- логического описания действительности, – то есть сформировался формальный, научный язык всех отраслей знания, в первую очередь, естественнонаучных. Этот язык успешно используется в настоящее время и в других, “не естественнонаучных” областях.

Язык математики – это искусственный, формальный язык, со всеми его недостатками (например, малой образностью) и достоинствами (например, сжатостью описания).

Математическое описание фактов, законов природы, общества и познания позволяет нам по-новому взглянуть на их взаимосвязи, обнаружить новые связи. Зачастую эти связи невозможно обнаружить без математики, на опыте, в реальном мире.

“Математики – своего рода французы: когда говоришь с ними, они переводят твои слова на свой язык, и вот сразу получается нечто иное” (И.В.Гете).

Современная теоретическая (” чистая “) математика это наука о математических структурах, математических инвариантах различных систем и процессов.

Понятие структуры мы пока будем определять (нестрого) как некоторую заданную совокупность связанных между собой элементов, в которой имеется некоторый порядок, некоторая стройность и взаимосвязь составных частей.

“Математика – это искусство давать разным вещам одно наименование” (А.Пуанкаре).

Современная прикладная (” не чистая “) математика – это наука, занимающаяся поиском, математическим описанием и исследованием различной природы инвариантов и их приложений.

Таким образом, это две ветви одной и той же науки, и одна из них не может развиваться без другой. Отнесение одной и той же задачи к чистой или к прикладной математике зависит, в основном, от цели и доступных ресурсов ее исследования.

Предмет науки обычно понимают как совокупность, систему тех закономерностей, которые изучаются ею.

Строго говоря, математика непосредственно не изучает реально законы развития природы или общества, как, например, физика, химия, биология, история и др. Она помогает в их изучении другим наукам, связывает эти науки, законы, усиливает их.

Математика позволяет получать абстрактное знание о законах и процессах, а эти знания затем используют все другие науки.

Служение наукам не является единственной функцией математики, ее главной целью. У нее есть свои, важнейшие внутренние цели эволюции.

Специфика математического метода изучения действительности определяет и особенность критерия истины в математике. В математике критерий истины выступает в своеобразной форме: мы не можем доказать истинность математического предложения, основываясь лишь только на практике, как во многих других науках.

Простой факт отсутствия общих точек у двух параллельных прямых нельзя проверить на практике, сколько бы мы не брали точек на этих прямых. Более сложный пример – так называемая функция Дирихле: значение функции для рациональных чисел равно 1, а для иррациональных чисел – 0. Нельзя построить график этой простой по определению функции.

Практика является исходным пунктом математических понятий, но в качестве непосредственного критерия истины утверждений теоретической математики она обычно не выступает. Только в прикладной математике практика может определять адекватность и эффективность математического аппарата для описания конкретных систем и процессов. При этом практика как критерий адекватности теории не всегда применима.

Изучение математики

Любую науку, в том числе и математику, каждый человек может освоить самостоятельно, особенно если в памяти остались знания со школьной скамьи. Можно стать математиком в 20, 30 и 40 лет, главное – придерживаться некоторых правил:

  1. Грамотно составить план. За короткий срок математику познать в совершенстве невозможно. Подобрав конкретную тему, необходимо составить определенный план, по которому будет проходить обучение.
  2. Писать конспекты. Данный метод поможет лучше освоить материал и запомнить главные моменты.
  3. Не отказываться от консультаций с людьми, которые отлично знают математику. Это поможет в работе над собственными ошибками.
  4. Изучать материал внимательно, несколько раз перечитывая и повторяя.

Математика – довольно сложная наука, которую не всем дано быстро освоить. Только при желании активно изучать предмет можно приобрести соответствующие навыки и умения, достичь новых высот.

Таким образом, для того чтобы стать хорошим математиком, необходимо как можно чаще применять науку на практике, учиться логически рассуждать.

Как стать учителем математики

Что является фундаментом для математики?

Упрощенно говоря, в фундаменте математики сейчас лежат теория множеств и логика, но так было не всегда и не всегда будет.

Поначалу, когда математики только начинали возводить здание своей науки, эта бедная хижина не нуждалась в фундаменте. Понятий и правил было совсем мало, все связи между ними вполне умещались в одной голове, не было нужды их систематизировать или упорядочивать.

image.png

Древние греки строили математику как науку, в которой все новые теоремы выводятся из старых, а те – из еще более старых, и так далее. Где-то у этой цепочки рассуждений должно быть начало.

Первым положил начало Евклид. Он подвел под хижину фундамент: создал аксиоматику. Евклид зафиксировал самые базовые понятия вроде точки или прямой, а также аксиомы — базовые законы, которые этими понятиями управляют. Аксиомы считались очевидными, их не надо было доказывать; зато из них можно было одну за другой выводить интересные теоремы. На Евклидовом фундаменте строили геометрию многие поколения математиков после него; постепенно бедная хижина превратилась в прочное здание. «Начала» Евклида — самая издаваемая светская (нерелигиозная) книга всех времен и народов.

image.png

В XIX веке были построены неевклидовы геометрии, создан математический анализ. Новой математике потребовался новый, более прочный фундамент. На рубеже XIX и XX веков Давид Гильберт задумался о том, каким он должен быть. Гильберт сформулировал основные требования к аксиоматике и поставил цель подвести аксиоматические основания под всю имеющуюся математику.

Если мы представим себе математику как стройку, то увидим, что на всех этажах идет работа, снуют строители… но в начале XX века их было особенно много в самом низу, в основании всего здания. Оно зарывалось вглубь, шла тотальная перестройка фундамента – создавалась система аксиом и основных понятий. Для этого в математике есть две специальные ветви, две плиты фундамента – логика и теория множеств.

А в начале 30-х годов XX века Курт Гёдель доказал, что безупречной аксиоматики не бывает. Теорема Гёделя о неполноте говорит, что если аксиоматика непротиворечива, то хотя можно выводить одну за другой все более сложные теоремы, но невозможно вывести ВСЕ истинные, неопровержимые утверждения. Обязательно найдутся такие, которые нельзя опровергнуть, но при этом нельзя и доказать. Это открытие ошеломило математиков: фундамент оказался с изъянами, но они все-таки научились с этим жить.

image.png

Здание нашей науки динамично. В нем появляются самые неожиданные пристройки, вроде теории узлов и кос или теории избирательных систем. Между разными крыльями здания математики строят переходы, связывая его воедино. На верхних этажах устроились прикладники, и им нет дела до подземных этажей, где тоже кипит работа, ведь здание растет не только ввысь и вширь, но и в глубину тоже.

Математике наверняка предстоят новые кризисы, и тогда придется засучить рукава, разработать новые инструменты и опять перестроить фундамент.

Что нужно, чтобы стать математиком

Чтобы в совершенстве знать математику, необходимо постоянно добиваться лучших результатов. Существуют методы, освоив которые, можно стать как репетитором по математике, так и профессиональным педагогом.

Уровни, через которые необходимо пройти новичку:

  1. Легкий. На этом уровне люди могут решать задачи, согласно образцу, и способны рассказать материал так, как он был изложен в книге.
  2. Продвинутый. Человек, который занимается изучением математики на этом уровне, может без помощи других не только освоить и пересказать теорию, но и решить более сложные задачи.
  3. Творческий. Уровень, когда начинающий математик не нуждается в том, чтобы помнить наизусть все аксиомы и правила, так как он при необходимости может самостоятельно вывести ту или иную формулу, составить пример или уравнение.

Данные уровни будут эффективны только при совмещении с практикой. Для того чтобы как можно лучше разбираться в темах, нужно решать большое количество задач, как простых, так и более сложных. От того, насколько углубленно человек будет осваивать теорию, зависит, сможет ли он стать учителем математики, как многие известные педагоги.

Позитивное отношение к математике

Необходимые навыки и умения

Для того чтобы стать математиком, необходимо иметь соответствующие умения и навыки. Каждый человек имеет возможность повышать уровень своих знаний, благодаря трудолюбию и усидчивости.

Как стать математиком самостоятельно? Нужно заниматься каждый день по несколько часов до тех пор, пока знания не начнут усваиваться. В случае необходимости можно обратиться за помощью к опытным специалистам. Педагог, который хорошо ориентируется в арифметике, поможет новичку на начальном этапе обучения науке. Кроме того, необходимо иметь здоровое отношение к математике. Некоторые полагают, что выбрав эту область науки, они недостаточно владеют знаниями. Но это не так, ведь каждый человек имеет возможность самосовершенствоваться.

Как стать умным математиком

Математика как специальность

Математика как специальность научных работников министерства науки и технологий Российской Федерации подразделяется на научные специальности

  • Математический анализ
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая физика
  • Геометрия и топология
  • Теория вероятностей и математическая статистика
  • Математическая логика, алгебра и теория чисел
  • Вычислительная математика
  • Дискретная математика и математическая кибернетика

Математика как учебная дисциплина

Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику, изучаемую в средней школе, и образованную дисциплинами:

  • арифметика,
  • элементарная алгебра
  • элементарная геометрия: планиметрия и стереометрия
  • теория элементарных функций и элементы анализа

и высшую математику, изучаемую в ВУЗе. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности. Программа обучения по специальности математика образована следующими учебными дисциплинами:

  • Математический анализ (ф)
  • Алгебра
  • Аналитическая геометрия (ф)
  • Линейная алгебра (ф) и геометрия
  • Дискретная математика
  • Математическая логика
  • Дифференциальные уравнения (ф)
  • Дифференциальная геометрия
  • Топология
  • Функциональный анализ и интегральные уравнения (ф)
  • Теория функций комплексного переменного (ф)
  • Уравнения с частными производными (вместо этого курса физикам читаются Методы математической физики)
  • Теория вероятностей (ф)
  • Математическая статистика (ф)
  • Теория случайных процессов
  • Вариационное исчисление (ф) и методы оптимизации
  • Методы вычислений, т.е.численные методы (ф)
  • Теория чисел

Знаком (ф) отмечены дисциплины, которые изучаются при обучении по специальности «физика».

Как учатся сегодня будущие математики?

Никто не заставит ребенка решать задачи вне плана, если у него нет внутренней установки познать математику. Если целеустремленный ученик еще и занимается с репетитором по математике, то знания к нему придут быстрее и в большем объеме.

Знания всегда пропорциональны затраченному на них времени. Разница только в том, что способному (гениальному) ученику быстрее удается схватить главное, увидеть ход решения на несколько шагов вперед. Но все в Ваших руках. Любые свойства объектов можно самостоятельно проверить или доказать, а большинство перемещений чисел удается раскрыть на бумаге. Для решения сложных вопросов есть специализированные учебники и, в конце концов, репетитор. При желании всегда можно разобраться в чем угодно. Главное заниматься, а не лениться.

Большинство учеников не выдерживают значительного умственного напряжения при изучении математики. Однако, по себе знаю, что упорство и сильнее любой сложной темы.

Как я сам стал математиком?
У меня не было репетиторов, но я компенсировал их отсутствие плотной самостоятельной работой. Дополнительно решал задачи и повторял доказательства. Был такой период на рубеже окончания 7 класса – начала 8 класса, когда я ощутил неуверенность в понимании геометрии. Что было предпринято? Каждый день я или читал пройденные параграфы или мысленно прогонял через себя доказательства теорем вместе с формулировками участвующих в них объектов. Делал это даже лежа в кровати. Если что-то забывалось, я мог подняться в 12 ночи и при тусклом свете лампы (чтобы не заметили родители) посмотреть доказательство. Поняв или вспомнив доказательство, с чувством удовлетворения ложился спать. И так около полугода. С какого-то момента доказательства начали запоминаться сами собой, и я уверенно сдал выпускной устный экзамен по геометрии в 9 классе на отлично.

Советы репетитора будущим математикам
1) Решайте решайте и еще раз решайте задачи самостоятельно.
2) Не останавливайтесь в развитии достигнув высоких результатов.
3) Не бросайте задачу, если она у Вас не получается. Подойдите к ней через какое-то время или смените метод решения.
4) Старайтесь доказывать все и вся. Все теоремы, которыми вы пользуетесь, которые попадаются вам на глаза.
5) Найдите репетитора по математике со знанием дополнительных глав предмета. Задавайте ему больше вопросов.
6) Проявляете наблюдательность. Многие методы используют особенности объекта, которые можно заметить.
7) Изучайте результаты своих преобразований и вычислений. Теоремы есть ни что иное, как наблюдения за ними.
8) Посещайте олимпиады по математике разных уровней. Они смогут дополнительно заинтересовать Вас в изучении предмета.
9) Не зацикливайтесь только на подготовке к ЕГЭ. Рассматривайте предмет более широко. Ищите интересные задачи в интернете и в печатных изданиях. Их решение благотворно повлияет на ваше развитие.

О профессии учителя математики. 5 советов начинающим специалистам

Математика – один из основных предметов школьной программы. Не случайно по количеству часов, которые выделяются для ее изучения, до 7 класса она уступает только русскому языку, а после выходит на уверенное первое место. Но полюбить математику детям куда сложнее, чем некоторые другие дисциплины. В ней нет эффектных опытов, как в химии, отсылок к эмоциям, как в литературе, места для увлекательных дискуссий, как в истории. Как же учителю, особенно начинающему, заинтересовать детей математикой? Поговорим об этом и дадим новичкам советы от опытных педагогов.

Что должен знать учитель математики для работы в системе школьного образования?

Как и все учителя-предметники, специалисту нужно знать психологию, педагогику, возрастную физиологию, анатомию и гигиену, методики воспитательной работы, способы обучения, нормативно-правовую базу по вопросам воспитания и обучения детей, требования пожарной безопасности и охраны труда, правила личной гигиены, правила оказания первой помощи. Важно разбираться в законах и других нормативно-правовых актах, которые регулируют образовательную деятельность в России, в том числе понимать требования ФГОС основного общего и среднего общего образования.

Чтобы работать учителем математики, необходимо хорошо знать профильный предмет, основы информатики, черчения, решать математические задачи разной сложности. Следует освоить методику преподавания дисциплины в школе, изучить программу и учебники математики, алгебры, геометрии, ознакомиться с требованиями к оборудованию и оснащению кабинета математики. Современный учитель должен уметь применять в работе текстовые редакторы, презентации, электронные таблицы, интернет-ресурсы, пользоваться мультимедийным оборудованием.

Как стать учителем математики? Можно ли работать в школе без педагогического образования?

Согласно профстандарту, для работы учителем математики нужно иметь высшее или среднее профессиональное образование в области профильного предмета или педагогики и пройти профпереподготовку с присвоением нужной квалификации. Это можно сделать дистанционно* по программам АНО ДПО «Уральский институт повышения квалификации и переподготовки» из этого раздела.

При выборе программы обучения отталкивайтесь от полученного ранее образования:

  • Если у вас есть математическое образование, то подойдет программа: (340ч)Учитель математики. Технологии проектирования и реализации учебного процесса в основной и средней школе с учетом требований ФГОС 12500 руб. 6035 руб.

Учитель математики. Технологии проектирования и реализации учебного процесса в основной и средней школе с учетом требований ФГОС (340ч). Вы не будете заново учить теорию математики, а лишь научитесь преподавать ее в школе.

  • Если базовое образование не математическое, то стоит обратить внимание на программу: (620ч)Учитель математики. Педагогическая деятельность по проектированию и реализации образовательного процесса в соответствии с ФГОС с присвоением квалификации «Учитель математики» 17100 руб. 9520 руб.

Учитель математики. Педагогическая деятельность по проектированию и реализации образовательного процесса в соответствии с ФГОС с присвоением квалификации «Учитель математики» (620ч). В ней есть и дисциплины по педагогике, теории и методике преподавания математики в школе, и дисциплины, знакомящие с самим предметом.

    Также можно пройти программы с присвоением сразу двух квалификаций (например, учителя математики и физики или математики и информатики), чтобы расширить карьерные перспективы. Это особенно актуально для малокомплектных школ, где не хватает преподавателей и сложно набрать нужное количество часов на ставку, если вести только одну дисциплину.

    Где работают и сколько получают учителя математики?

    В основном учителя математики работают в государственных школах. Также они могут устроиться в частные образовательные учреждения, в центры дополнительного образования. Если пройти переподготовку по педагогике профессионального образования, можно вести математику в колледжах, техникумах, вузах.

    Где работают и сколько получают учителя математики
    В Москве средняя зарплата учителей математики составляет 70-110 тыс. рублей. В Санкт-Петербурге они получают 40-70 тыс. рублей, в Казани и других городах-миллионниках – 35-40 тыс. рублей. В среднем по России специалисты могут рассчитывать на зарплату около 25-35 тыс. рублей в месяц. Стандартный оклад можно увеличить, если взять дополнительную нагрузку (классное руководство, кружки, методическую работу) или пройти переподготовку и вести несколько предметов. Уровень зарплаты учителя также зависит от его квалификационной категории, стажа, от условий в конкретной организации (в лицеях, гимназиях, частных школах обычно платят больше) и других факторов.

    Учитель может работать или подрабатывать репетитором, в том числе по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. Час занятий стоит в среднем от 500 до 2000 рублей. Цена зависит от квалификации, стажа специалиста, наличия рекомендаций. При этом не обязательно ездить к ученикам домой или приглашать их к себе. Сегодня все больше репетиторов дают уроки посредством видеосвязи.

    Как сделать уроки интересными? 5 советов начинающим учителям математики.

    1. Начинайте каждый урок не с чтения правила в учебнике, не с проверки домашнего задания, а с информации, которая привлечет внимание детей. Это может быть занимательный случай из жизни математика, который вывел формулу, сделал открытие, которое выросло из доказательства теоремы, и что угодно еще. Найти занимательные факты для каждой темы в интернете не составит труда.
    2. Предлагайте детям разные формы работы. Обычно уроки математики строятся по одному плану: проверили домашнюю работу – выучили новое правило – закрепили теорию парой задач. Избавьте ваших учеников от этой рутины. Пусть они участвуют в круглых столах и диспутах, готовят проекты индивидуально и в группах. Устраивайте беседы, математические диктанты, игры.
    3. Связывайте математику с реальной жизнью. Многих отталкивает от школьных уроков их абстрактность. Мало кому в 15 лет интересно искать площадь треугольника или узнавать, чему равны Х и Y. А когда дети рассчитывают, сколько переплатят за купленный в кредит телефон, определяют, как будет дешевле доехать до Москвы – на автомобиле или на поезде, составляют меню на неделю по таблице калорийности продуктов, им сразу становится понятно, для чего нужно учить формулы и решать уравнения.
    4. Делайте уроки наглядными. Используйте весь арсенал средств, которые можно задействовать в изучении математики: таблицы, диаграммы, презентации, фильмы, математические эксперименты и фокусы. Помните, что 80-85% людей – визуалы, которым недостаточно услышать объяснение формулы или задачи, а нужно его еще и увидеть.
    5. Используйте приемы занимательной математики. Пусть дети собирают роботов из конструктора, решают исследовательские задачи, разгадывают математические загадки и ребусы и т. д.

    Математика – сложный, но полезный и интересный предмет. И задача учителя – заинтересовать им детей. А для этого нужно не просто самому знать и любить математику, но и постоянно развиваться как педагогу.

    Источники

    • https://www.intuit.ru/studies/courses/107/107/lecture/3107?page=1
    • https://FB.ru/article/442591/kak-stat-matematikom-effektivnyie-metodyi-obucheniya-neobhodimyie-navyiki-i-umeniya
    • https://yandex.ru/q/question/science/kakie_razdely_matematiki_izuchaiutsia_v_4190a1da/?answer_id=2a4a6002-241a-48a3-9cb4-1d059170a67c
    • https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/278106
    • https://ankolpakov.ru/2011/08/04/kak-stat-matematikom/
    • https://urgaps.ru/news/731
    [свернуть]
    Оцените статью
    Понравилась статья?
    Комментарии (0)
    Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

    Комментарии закрыты.